Đạo Hàm Hàm Hợp

Chào các bạn đến với sara.edu.vn – nơi cập nhật thông tin nhanh chóng, đa dạng về ẩm thực, Feng Shui, Công nghệ, Giáo dục, Làm đẹp,… 24/7. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về đạo hàm của hàm hợp và một số ví dụ minh họa. Hãy cùng tôi khám phá nhé!

Công thức tính đạo hàm của hàm hợp (lớp 11)

1. Công thức:

Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm u'(x) tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm y'(u) tại u, thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm y'(x) tại x và ta có y'(x) = y'(u) ⋅ u'(x).

Vậy công thức đạo hàm của hàm hợp là: y'(x) = y'(u) ⋅ u'(x).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho hàm số y = 1 - x^(1 + x^2). Tính đạo hàm của hàm số f(x).

Hướng dẫn giải:
Ta có:

f'(x) = (1 - x^(1 + x^2))' = (1)' - (x^(1 + x^2))' = - (x^(1 + x^2))'

Để tính đạo hàm của x^(1 + x^2), ta sử dụng quy tắc chuỗi và quy tắc tích đạo hàm:

(x^(1 + x^2))' = (1 + x^2)' ⋅ (x^(1 + x^2))^(1 + x^2 - 1)
              = (1)' ⋅ (x^(1 + x^2))^(x^2) + (x^2)' ⋅ (x^(1 + x^2))^(x^2 - 1)
              = 0 ⋅ (x^(1 + x^2))^x^2 + 2x ⋅ (x^(1 + x^2))^(x^2 - 1)
              = 2x ⋅ (x^(1 + x^2))^(x^2 - 1)

Thay vào công thức đạo hàm:

f'(x) = - (x^(1 + x^2))'
       = - 2x ⋅ (x^(1 + x^2))^(x^2 - 1)

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) là -2x ⋅ (x^(1 + x^2))^(x^2 - 1).

Ví dụ 2. Cho hàm số y = (x - 5)(x + 1)^2. Tìm nghiệm của y'(x) = 0.

Hướng dẫn giải:
Hàm số y = (x - 5)(x + 1)^2
Ta có

y'(x) = ((x + 1)^2)' + ((x - 5) ⋅ (x + 1)^2)'
      = 2(x + 1) + (x - 5) ⋅ (2(x + 1))'
      = 2(x + 1) + (x - 5) ⋅ (2)
      = 2x + 2 + 2x - 10
      = 4x - 8

Để tìm nghiệm của y'(x) = 0, ta giải phương trình:

4x - 8 = 0
4x = 8
x = 2

Vậy đạo hàm y'(x) = 0 có tập nghiệm là S = {2}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (5x + 1)(1 - x)^3 tại điểm x = 1/2
b) y = 1 + sin(x) tại điểm x = π/4
c) y = x + 2x^3 tại điểm x = 1

Bài 2. Tìm m để các hàm số:
a) y = (m - 1)x^3 - 3(m + 2)x^2 - 6(m + 2)x + 1 có y' ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ
b) y = mx^3 - mx^2 + 3m - 1x + 1 có y' ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Bài 3. Cho hàm số f(x) = sin(2x) khi x > 0 và f(x) = x + x^2 khi x ≤ 0. Tính f'(0).

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) = x - 1/2x. Tính giá trị biểu thức f'(0,01100).

Bài 5. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn có hàm số là Q(t) = 5sin^3(t) + π/2 trong thời gian t (t > 0). Hãy tính cường độ tức thời của dòng điện chạy qua tại thời điểm t = π/12 (s), biết rằng I(t₀) = Q(t₀).

Cùng xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác tại sara.edu.vn.

Săn shopee siêu SALE:

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti’s ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L’Oreal mua 1 tặng 3

Hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo trên sara.edu.vn – nơi chia sẻ kiến thức bổ ích và đa dạng hàng đầu!