Chào mừng các bạn đến với Sara.edu.vn – nơi cập nhật thông tin nhanh chóng, đa dạng và chính xác về ẩm thực, phong thuỷ, công nghệ, giáo dục, làm đẹp…24/7. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về quy tắc tính đạo hàm – một phần kiến thức quan trọng trong môn toán.
Quy tắc tính đạo hàm chung
- Cho hàm số u = u(x) và v = v(x) với u và v khác 0 và x thuộc đoạn J. Khi đó, ta có:
(u ± v)' = u' ± v'
(u.v)' = u'.v + u.v'
(u/v)' = (u'.v - u.v')/v^2
Hệ quả:
c' = 0
x' = 1
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
Quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số
Quy tắc tính đạo hàm hàm số cơ bản
(c)' = 0
(x)' = 1
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
Quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp
(sinu)' = u'.cosu
(cosu)' = -u'.sinu
Đăng ký ngay để nhận tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập toán THPT với bộ sách cán đích 9+ độc quyền của VUIHOC nhé!
Các dạng bài tập đạo hàm
Dạng bài tính đạo hàm bằng định nghĩa
a. Phương pháp:
- Áp dụng phương pháp tính giới hạn của hàm số
- Ghi nhớ công thức:
f'(x) = lim (f(x + delta_x) - f(x))/delta_x
b. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hàm số f(x). Hãy tính f'(2)?
Ta có:
Bài 2: Cho hàm số f(x). Hãy tính f'(-3)
Ta có:
Dạng bài áp dụng các quy tắc tính đạo hàm
a. Phương pháp: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để giải quyết bài tập toán
b. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = 5x^2(3x-1)
Ta có: y’ = [5x^2(3x – 1)]’ = (5x^2)’.(3x – 1)’ + 5x^2.(3x – 1)’
= 10x(3x – 1) + 5x^2.3 = 45x^2 – 10x
Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = (x^7 + x)^2
Ta có: y’ = [(x^7 + x)^2]’ = 2(x^7 + x).(7x^6 + 1)
= 2(7x^13 + 8x^7 + x)
= 14x^13 + 16x^7 + 2x
Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số
Ta có:
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Ta có:
Đăng ký khóa học DUO 11 để được các thầy cô lên lộ trình ôn tập thi tốt nghiệp ngay từ sớm nhé!
Dạng bài chứng minh, giải phương trình, bất phương trình
a. Phương pháp:
- Tính y’
- Áp dụng các kiến thức đã học để biến đổi về phương trình hoặc bất phương trình bậc 1, 2 hoặc 3
- Đối với bài toán chứng minh bất đẳng thức, biến đổi vế phức tạp về đơn giản hoặc cả 2 vế bằng biểu thức trung gian.
- Một số bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.
- Một số bài toán về bất phương trình bậc 2 thường gặp.
b. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số f(x). Giải bất phương trình f'(x) < 0
Ta có:
Bài 2: Cho hàm số f(x). Chứng minh rằng
Dạng bài đạo hàm của hàm số lượng giác
a. Phương pháp: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số lượng giác
b. Bài tập vận dụng:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
- y = sin^4x + cos^4 x
- y = 2sinx + cos^2x
- y = (2cosx + 1)(3sinx + 1)
- y = cos^2(2x) – sin^2x
- y = sin^2(3x) + cosx
Lời giải:
- Ta có y = (sin^2x + cos^2x)^2 – 2sin^2x.cos^2x = 1 – 1/2sin^2(2x) = 3/4 +1/4cos^4x => y’ = -4sinx
- y’ = 2cosx – 2sin^2x
- y’ = 6cos^2x – 2sinx + 3cosx
- y’ = (5-4x).sin(2x^2 – 5x + 14)
- y’ = 3sin^6x – sinx
Dạng bài chứng minh đẳng thức, giải phương trình chứa đạo hàm
a. Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số đã cho
- Thay y và y’ vào biểu thức để biến đổi chứng minh hoặc giải phương trình liên quan
b. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hàm số y = tanx. Hãy chứng minh rằng y’ – y^2 – 1 = 0
Điều kiện để hàm số xác định là
Ta có
Khi đó y’ – y^2 – 1 = 1 + tan^2x – tan^2x – 1 = 0
Bài 2: Cho hàm số y = xsinx. Hãy chứng minh rằng xy + x(2cosx – y) = 2(y’ – sinx)
Ta có: y’ = sinx + xcosx
xy + x(2cosx – y) = 2(y’ – sinx)
xy + 2xcosx – xy = 2(sinx + xcosx – sinx)
2xcosx = 2xcosx (điều phải chứng minh)
Quy tắc tính đạo hàm chính là những phép tính được đưa ra để tính toán các bài toán. Nếu các em nắm chắc kiến thức này sẽ dễ dàng giải các dạng bài tập toán về đạo hàm nhanh và chính xác nhất. Hy vọng qua những chia sẻ trên của VUIHOC, các em có thể vận dụng vào bài tập và cả bài thi toán tốt nghiệp THPT trong thời gian tới. Chúc các em học tập ngày càng hiệu quả cùng với ứng dụng học tập vuihoc.vn nhé!
